Question

5．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S表示三角形的面積，若asinA+bsinB=csinC，且S=$\frac{1}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$，則對(duì)△ABC的形狀的精確描述是（　�。�

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等腰或直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知可得a²+b²=c²，利用勾股定理可得C=$\frac{π}{2}$，利用余弦定理，三角形面積公式化簡可得
sinB-cosB=0，可求$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，結(jié)合范圍B∈（0，$\frac{π}{2}$），可求B=A，即可得解三角形的形狀．

解答 解：∵asinA+bsinB=csinC，
∴由正弦定理可得：sin²A+sin²B=sin²C，可得：a²+b²=c²，
∴C=$\frac{π}{2}$，△ABC是直角三角形．
又∵S=$\frac{1}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{1}{2}$acsinB，
∴$\frac{1}{4}$×2accosB=$\frac{1}{2}$acsinB，解得：sinB-cosB=0，可得：$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，
∴B-$\frac{π}{4}$=kπ，可得：B=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵B∈（0，$\frac{π}{2}$），B-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴B-$\frac{π}{4}$=0，可得：B=$\frac{π}{4}$，A=π-B-C=$\frac{π}{4}$，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，勾股定理，余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．