Question

若點(diǎn)A是棱長為2的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，在這個(gè)正方體內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離大于2的概率為（　　）

• A、1-

  π

  6

• B、1-

  π

  4

• C、1-

  π

  3

• D、

  π

  6

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)題意，分析可得，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，與點(diǎn)A距離小于等于2的點(diǎn)在以A為球心，半徑為2的八分之一個(gè)球內(nèi)，計(jì)算可得其體積，易得正方體的體積；由幾何概型公式，可得點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于2的概率，借助對(duì)立事件概率的性質(zhì)，計(jì)算可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，分析可得，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，與點(diǎn)A距離小于等于2的點(diǎn)在以A為球心，半徑為1的八分之一個(gè)球內(nèi)，
其體積為V₁=

1

8

×

4

3

π×23=

4

3

π
正方體的體積為2³=8，
則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于2的概率為：

π

6

，
故點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離大于2的概率為1-

π

6

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型的計(jì)算，關(guān)鍵在于掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征與正方體、球的體積公式．