Question

7．已知$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，且$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$，
（1）求$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{q}$=（1，0），且$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{q}$的夾角為$\frac{π}{2}$，$\overrightarrow{p}$=（cosA，1+cosC），其中A、B、C為△ABC的內(nèi)角，A、B、C依次成等差數(shù)列，求|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y），由于$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，且$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$，可得cos$\frac{3π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，x+y=-1．聯(lián)立解出即可．
（2）利用向量$\overrightarrow{n}$與向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）的夾角為$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{p}$=（cosA，1+cosC），結(jié)合三角形的內(nèi)角和，A、B、C依次成等差數(shù)列，求出B，C與A的關(guān)系，利用二倍角與兩角和與差的三角函數(shù)化簡|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|的表達(dá)式，根據(jù)角的范圍求出表達(dá)式的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-1，且$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$，
∴cos$\frac{3π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，x+y=-1．
化為$\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，0）或（0，-1）．
（2）∵$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{q}$的夾角為$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$=0，
∵若$\overrightarrow{n}$=（-1，0），則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{q}$=-1≠0，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1）．
∵2B=A+C，A+B+C=π，可得：B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-A，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|=$\sqrt{co{s}^{2}A+co{s}^{2}C}$=$\sqrt{\frac{1+cos2A}{2}+\frac{1+cos2C}{2}}$=$\sqrt{\frac{cos2A+cos2C}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{cos2A+cos（\frac{4π}{3}-2A）}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{cos2A-\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A}{2}+1}$
=$\sqrt{\frac{cos（2A+\frac{π}{3}）}{2}+1}$
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，可得：0$＜2A＜\frac{4π}{3}$，即：$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
∴-1≤cos（2A+$\frac{π}{3}$）$＜\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|∈$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，三角函數(shù)的化簡求值，以及函數(shù)值的范圍的確定，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．