Question

14．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x-2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位的極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（3）求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C的普通方程；線l的方程的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，由此能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），（4，0），由此利用兩點(diǎn)間距離公式能求出直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x-2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4，
∵直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
即$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴直線l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），（4，0），
∴直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為：
$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的普通方程、直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線被曲線截得的弦長(zhǎng)的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．