Question

圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4．設AB=2x，BC=y，凹槽的強度與橫截面的面積的x倍成正比，且當AB=1時凹槽的強度為

4-π

16

．
（1）寫出y關于x的函數表達式，并指出x的取值范圍；
（2）求當x取何值時，凹槽的強度最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）由“其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4”建立模型，再根據四邊形ABCD是矩形求得定義域．
（2）先求得橫斷面的面積，再由凹槽的強度與橫截面的面積的x倍成正比，且當AB=1時凹槽的強度為

4-π

16

，建立模型，用導數法求得最值．

解答： 解：（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為πx．
所以4=2x+2y+πx，
得y=

4-(2+π)x

2

依題意知：0＜x＜y
得0＜x＜

4

4+π

所以，y=

4-(2+π)x

2

（0＜x＜

4

4+π

）．
（2）依題意，設凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，凹槽的強度與橫截面的面積的x倍成正比的比例系數為k，
則有T=kxS=

3

x（2xy-

πx2

2

）=k[4x²-（2+

3π

2

）x³]
由已知當x=

1

2

時，y=

4-π

16

，解得k=

1

3

所以T=

1

3

[4x²-（2+

3π

2

）x³]（0＜x＜

4

4+π

）．
所以T′=（2+

3π

2

）x[

4

3(2+ 3π 2 )

-x]
令T′=0得x=

16

3(4+3π)

，
x∈（0，

16

3(4+3π)

）時，T′＞0；x∈（

16

3(4+3π)

，

4

4+π

）時，T′＜0
所以，當x=

16

3(4+3π)

時，T的最大值為

1024

81(4+3π)2

．

點評：本題主要考查數學建模型和解模型的能力，主要涉及了平面圖形的周長，面積及在實際問題中模型的意義．