Question

已知定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）對(duì)任意正數(shù)m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）＞

3

2

，且f（

1

2

）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，解得f（1）=

1

2

，從而f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，由此能求出f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

=f（

4x2

x1

•4）-

1

2

=f(

4x2

x1

)+f(

1

4

)-1，由此能求出關(guān)于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2的解．

解答： 解：（1）∵定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x），
對(duì)任意正數(shù)m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，
∴f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，
∴f（1）=

1

2

，
∴f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，
∵f（

1

2

）=0，∴f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

=f（

4x2

x1

•4）-

1

2

=f(

4x2

x1

)+f(

1

4

)-1，
∵f（

1

4

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）-

1

2

，且

4x2

x1

＞4時(shí)，f（x）＞

3

2

，
∴f(x2+3x)＞

3

2

=f(4)，
∴

x＞0 x+3＞0 x2+3x＞4

，解得x∈（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，考查不等式的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．