Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1（n=1，2，3，…），數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…）
（1）求a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算化簡(jiǎn)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)列恒等式：b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)；
（3）求得nb_n=n（2^n-1+2），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法和分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）S_n=2a_n-1，可得n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，
可得a₁=1；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-2a_n-1+1=2a_n-2a_n-1，
可得a_n=2a_n-1，
則a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）由b₁=3，b_n+1=a_n+b_n，可得
b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
即有b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=3+1+2+…+2^n-2=3+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1+2；
（3）nb_n=n（2^n-1+2），
前n項(xiàng)和T_n=（1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1）+（2+4+6+…+2n）
=S_n+n（n+1），
由S_n=1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
兩式相減可得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
即有S_n=（n-1）•2ⁿ+1；
則T_n=（n-1）•2ⁿ+1+n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列恒等式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法和分組求和，注意運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．