Question

6．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，若?x_i∈[$\frac{1}{e}$，e]，（i=1，2）使得f（x_i）=g（x_i），（i=1，2），則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）
• B． [$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$]
• C． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 化簡可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，從而令t（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求導(dǎo)t′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$=0，從而解得t（x）在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]上單調(diào)遞增，在[$\sqrt{e}$，e]上單調(diào)遞減；從而解得．

解答 解：由f（x）=g（x）得，k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，令t（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
由t′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$=0得x=$\sqrt{e}$，
故t（x）在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]上單調(diào)遞增，
在[$\sqrt{e}$，e]上單調(diào)遞減，
又t（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，t（$\frac{1}{e}$）=-e²，t（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故?x_i∈[$\frac{1}{e}$，e]，（i=1，2）使得f（x_i）=g（x_i），（i=1，2），
則實數(shù)k的取值范圍是[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$），
故選：A．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．