15.已知數(shù)列{an}滿足an+2+an=2an+1(n∈N*),且a5=$\frac{π}{2}$,若函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2$\frac{x}{2}$,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項和為( 。
A.0B.-9C.9D.1

分析 由數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列.由a5=$\frac{π}{2}$,可得a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π.由f(x)=sin2x+2cos2$\frac{x}{2}$,可得f(x)=sin2x+cosx+1,可得f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2,同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,進(jìn)而得出.

解答 解:∵數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∵a5=$\frac{π}{2}$,∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5
∵f(x)=sin2x+2cos2$\frac{x}{2}$,
∴f(x)=sin2x+cosx+1,
∴f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2,
同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,
∵f(a5)=1,
∴數(shù)列{yn}的前9項和為9.
故選:C.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)、倍角公式與和差公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.已知集合A=$\left\{{x|\frac{6}{6-x}∈N,x∈N}\right\}$,則集合A的子集的個數(shù)是16.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

6.設(shè)m=20152016,n=20162015,則m,n的大小關(guān)系為m>n.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(4),f(8)的值;
(2)證明:f($\frac{x}{y}$)=f(x)-f(y)
(3)函數(shù)f(x)當(dāng)x1,x2∈(0,+∞)時都有$\frac{{f({x_2})-f({x_1})}}{{{x_2}-{x_1}}}$>0.若f(1)+f(x-2)≤3,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知$\overrightarrow{n}$=(2cosx,$\sqrt{3}$sinx),$\overrightarrow{m}$=(cosx,2cosx),設(shè)f(x)=$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$+a
(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值,以及取得最大值和最小值時x的值;
(2)若x∈[0,π]且a=-1時,方程f(x)=b有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2,求b的取值范圍及x1+x2的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知函數(shù)y=f (x)是定義在R上的任意不恒為零的函數(shù),則下列判斷:
①y=f(|x|)為偶函數(shù);
②y=f(x)+f(-x)為非奇非偶函數(shù);
③y=f(x)-f(-x)為奇函數(shù);
④y=[f(x)]2為偶函數(shù).
其中正確判斷的個數(shù)有( 。
A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{8k}{3}$+1,$\frac{8k}{3}$+$\frac{7}{3}$],k∈Z. 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.函數(shù)y=lgx+$\sqrt{2-x}$的定義域為(  )
A.{x|x≤2}B.{x|x>0}C.{x|x<0或x≥2}D.{x|0<x≤2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.△ABC是邊長為1的等邊三角形,已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.|$\overrightarrow$|=2B.$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$C.$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$D.($\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$)⊥$\overrightarrow{BC}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案