Question

5．△ABC是邊長為1的等邊三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，則下列結論正確的是（　　）

• A． |$\overrightarrow$|=2
• B． $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$
• D． （$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{BC}$

Answer 1

分析 由題意，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，分別與向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$共線，再根據等邊三角形的性質進行判斷．

解答 解：由已知，等邊△ABC的邊長為1，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
并且$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，∴|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2．
∴4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=2•2•2•（-$\frac{1}{2}$）+2²=0，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{BC}$，
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及數量積的運算，注意三角形的內角與向量夾角的關系，屬于中檔題．