Question

設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，則關(guān)于函數(shù)f（x）有

 

（填序號(hào)）
（1）對(duì)任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對(duì)任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）＜f（x₂）；
（4）對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：觀察四個(gè)命題（1）（2）兩個(gè)不能同時(shí)成立，（3）（4）兩個(gè)不能同時(shí)成立，對(duì)于命題（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，即可得到

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2結(jié)合已知條件②即可得到（2）是正確的；對(duì)于（3）（4）對(duì)條件

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2中的兩個(gè)變量x₁，x₂交換位置可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2兩式相加即可得到結(jié)論．

解答： 解：由于命題（1）（2）兩個(gè)不能同時(shí)成立，（3）（4）兩個(gè)不能同時(shí)成立，
對(duì)于命題（1）（2），令x₁=x，x₂=1-x，結(jié)合①則有

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≥2，等號(hào)當(dāng)

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1時(shí)成立
又由②知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

≤2，由此知

f(x)

f(1-x)

+

f(1-x)

f(x)

=2，
即

f(x)

f(1-x)

=

f(1-x)

f(x)

=1，即f（x）=f（1-x），故（2）對(duì)；
對(duì)于（3）（4），將②中的變量x₁，x₂交換位置可得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，
故有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤4，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

f(x1)

f(x2)

=

f(x1)

f(x2)

=1，

f(1-x1)

f(1-x2)

=

f(1-x1)

f(1-x2)

=1時(shí)成立，
 又由①即基本不等式知

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥4等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立
故有

f(x1)

f(x2)

=

f(x1)

f(x2)

=1，即對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），（4）正確
綜上知（2）（4）正確．
故答案為（2）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號(hào)成立的條件找到命題正確判斷的依據(jù)，本題較抽象，要求解題者構(gòu)造證明問(wèn)題的意識(shí)要強(qiáng)．入手難，難度較大．