Question

3．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，橢圓C的右焦點(diǎn)到直線x=$\frac{a}{e}$的距離為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，橢圓C的下頂點(diǎn)為D．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過D點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P，M．求證：直線PM經(jīng)過一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{a}{e}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，a²=b²+c²．聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)DP的方程為：y=kx-1，（k≠0），則DM的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x-1．分別與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)P，M，利用點(diǎn)斜式可得直線PM的方程，令x=0，解得y，即可得出直線PM經(jīng)過一定點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{a}{e}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
a²=b²+c²．
聯(lián)立解得：a=3，c=2$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．
證明：（2）D（0，-1），設(shè)DP的方程為：y=kx-1，（k≠0），
則DM的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x-1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化為（1+9k²）x²-18kx=0，
解得x=0或$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$．
則x_P=$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$，可得y_P=kx_P-1=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}$．
∴P$（\frac{18k}{1+9{k}^{2}}，\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}）$．
同理可得：M$（\frac{-18k}{{k}^{2}+9}，\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}）$，
k_PM=$\frac{\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}-\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}}{\frac{18k}{1+9{k}^{2}}-\frac{-18k}{{k}^{2}+9}}$=.$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$
∴直線PM的方程為：y-$\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$$（x-\frac{18k}{1+9{k}^{2}}）$，
令x=0，則y=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$×$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴直線PM經(jīng)過一定點(diǎn)$（0，\frac{4}{5}）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．