Question

7．在底面是邊長為6的正方形的四棱錐P-ABCD中，點P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線PB與AD所成角的正切值為$\frac{5}{3}$，則四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為$\frac{6}{17}$．

Answer 1

分析 確定異面直線PB與AD所成角為∠PBC，取BC中點E，則tan∠PBC=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{5}{3}$，求出PE=5，HP=4，可得四棱錐P-ABCD的表面積、體積，進而求出內(nèi)切球的半徑，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比．

解答 解：由題意，四棱錐P-ABCD為正四棱錐，PA=PB=PC=PD，
∵AD∥BC，
∴異面直線PB與AD所成角為∠PBC，
取BC中點E，則tan∠PBC=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{5}{3}$，
∴PE=5，HP=4，
從而四棱錐P-ABCD的表面積為S=$\frac{1}{2}×6×5×4+6×6$=96，V=$\frac{1}{3}×6×6×4$=48，
∴內(nèi)切球的半徑為r=$\frac{3V}{S}$=$\frac{3}{2}$．
設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的球心為O，外接球的半徑為R，則OP=OA，
∴（4-R）²+（3$\sqrt{2}$）²=R²，
∴R=$\frac{17}{4}$，
∴$\frac{r}{R}$=$\frac{6}{17}$．
故答案為：$\frac{6}{17}$．

點評 本題考查四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比，考查四棱錐P-ABCD的表面積、體積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．