Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}$=1和直線l：y=mx+1，若對任意的m∈R，直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[1，4）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知直線過定點(diǎn)（0，1），可得（0，1）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，然后分類討論得答案．

解答 解：∵直線l：y=mx+1恒過定點(diǎn)（0，1），
∴要使直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn)，
則（0，1）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，
若橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}$=1是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1≤b＜4；
若橢圓C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}$=1是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則b＞4．
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是：[1，4）∪（4，+∞）．
故答案為：[1，4）∪（4，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線系方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．