Question

5．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求AC₁ 與平面BCC₁ B₁ 所成角的正弦值；
（3）求二面角A-A₁ B-C₁ 的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC₁，AC₁⊥BA₁，由此能證明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，取A₁C₁中點E，以CE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AC₁ 與平面BCC₁ B₁ 所成角的正弦值．
（3）求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答 解：（1）證明：∵A₁在底面ABC上的射影為AC的中點D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁，且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如圖所示，以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，取A₁C₁中點E，以CE為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AC₁⊥平面A₁BC，∴AC₁⊥A₁C，
四邊形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中點，∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
設平面BCC₁ B₁ 的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
設AC₁ 與平面BCC₁ B₁ 所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}•2}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC₁ 與平面BCC₁ B₁ 所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$．
（3）$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），
設平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=a+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2a+2b=0}\end{array}\right.$，令c=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$），
∵AC₁⊥平面A₁BC，平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
設二面角A-A₁B-C的平面角為θ，θ為銳角，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．