Question

3．已知P為拋物線C：x²=2y上異于坐標(biāo)原點的動點，直線l與拋物線C切于點P，交x軸于Q，交y軸于R，則$\frac{|PQ|}{|PR|}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出y=$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)，設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²），可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程，分別令x=0，y=0可得Q，R的坐標(biāo)，再由兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線C：x²=2y即y=$\frac{1}{2}$x²，
由y=$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=x，
設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²），可得切線l的斜率為m，
可得切線l的方程為y-$\frac{1}{2}$m²=m（x-m），
令x=0，可得y=-$\frac{1}{2}$m²，即R（0，-$\frac{1}{2}$m²），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$m，即Q（$\frac{1}{2}$m，0），
則$\frac{|PQ|}{|PR|}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}{m}^{4}}}{\sqrt{{m}^{2}+{m}^{4}}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查拋物線的切線方程的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及點斜式方程，考查兩點的距離公式，運算求解能力，屬于中檔題．