Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（1）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算k的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由題可知，切點(diǎn)為（1，e），
且$f'（x）=\frac{{{e^x}•x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，
所以，切線的斜率為k=f'（1）=0；
故切線方程為：y=e．
（2）可知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
由（1），$f'（x）=\frac{{{e^x}•x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$
令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得x＜0或0＜x＜1
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了求切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．