Question

13．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，且${a_{n-1}}-{a_n}={a_{n-1}}{a_n}（n≥2，n∈{N^*}）$，記b_n=a_2n-1a_2n+1，則數(shù)列{b_n}的前100項和為$\frac{100}{201}$．

Answer 1

分析 a_n-1-a_n=a_na_n-1，兩邊同除以a_na_n-1，$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，${a_n}=\frac{1}{n}$，${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，采用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前100項和．

解答 解：由a_n-1-a_n=a_na_n-1，兩邊同除以a_na_n-1，
整理得$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=1（n≥2）$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{a_n}=n$，
∴${a_n}=\frac{1}{n}$，
則${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
故${S_{100}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{201}）=\frac{100}{201}$．
故答案為：$\frac{100}{201}$．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．