Question

2．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA₁=3，BC=1，AB=$\sqrt{3}$，E₁為A₁B₁中點．
（1）證明：B₁D∥平面AD₁E₁；
（2）求平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁D交AD₁于G，四邊形ADD₁A₁為平行四邊形，從而B₁D∥E₁G，由此能證明B₁D∥平面AD₁E₁；
（2）以A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACD₁的一個法向量和平面CDD₁C₁的一個法向量，由此利用向量法能求出平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（銳角）的余弦值．

解答 （1）證明：連結(jié)A₁D交AD₁于G，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為四棱柱，
∴四邊形ADD₁A₁為平行四邊形，
∴G為A₁D的中點，
又E₁為A₁B₁中點，∴E₁G為△A₁B₁D的中位線，
從而B₁D∥E₁G．
又∵B₁D?平面AD₁E₁，E₁G?平面AD₁E₁，
∴B₁D∥平面AD₁E₁；
（2）解：∵AA₁⊥底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，又∠BAD=90°，
∴AB，AD，AA₁兩兩垂直．
如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
設(shè)AB=t，則A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），
D（0，3，0），C₁（t，1，3），D₁（0，3，3）．
從而$\overrightarrow{AC}$=（t，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（-t，3，0）．
∵AC⊥BD，∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-t2+3+0=0，解得t=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0）．
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁）是平面ACD₁的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{3{y}_{1}+3{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令x₁=1，則$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
又$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，3），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，2，0）．
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂）是平面CDD₁C₁的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{z}_{2}=0}\\{-\sqrt{3}{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令x₂=1，則$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{|1×1+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\sqrt{3}）+\sqrt{3}×0|}{\sqrt{1+3+3}×\sqrt{1+\frac{3}{4}+0}}=\frac{1}{7}$，
∴平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（銳角）的余弦值是$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，建立坐標系是解決本題的關(guān)鍵，是難題．