【題目】【2018甘肅蘭州市高三一診】已知圓： ，過且與圓相切的動圓圓心為．

（I）求點的軌跡的方程；

（II）設過點的直線交曲線于， 兩點，過點的直線交曲線于， 兩點，且，垂足為（， ， ， 為不同的四個點）．

①設，證明： ；

②求四邊形的面積的最小值．

【答案】（I）．（II）①見解析．②．

【解析】試題分析：

（1）設動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，由題意可得 ，則點的軌跡是橢圓，其方程為.

（2）①由題意可知，而， ， ， 為不同的四個點，故.

②若或的斜率不存在，四邊形的面積為.否則，設的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，同理得，則 ，當且僅當時等號成立.則四邊形的面積取得最小值為.

試題解析：

（1）設動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，

則， ， ，

由橢圓定義可知，點的軌跡是橢圓， ， ， ，

的方程為.

（2）①證明：由已知條件可知，垂足在以為直徑的圓周上，

則有，

又因， ， ， 為不同的四個點， .

②解：若或的斜率不存在，四邊形的面積為.

若兩條直線的斜率存在，設的斜率為，

則的方程為，

解方程組，得 ，

則，

同理得，

∴ ，

當且僅當，即時等號成立.

綜上所述，當時，四邊形的面積取得最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，若橢圓：，則稱橢圓與橢圓 “相似”.

（1）求經(jīng)過點，且與橢圓： “相似”的橢圓的方程；

（2）若，橢圓的離心率為，在橢圓上，過的直線交橢圓于，兩點，且.

①若的坐標為，且，求直線的方程；

②若直線，的斜率之積為，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，圓：，圓：.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求，的極坐標方程；

（2）設曲線：（為參數(shù)且），與圓，分別交于，，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，且，是棱上的動點，是的中點.

（1）當是中點時，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響，對近13年的宣傳費和年銷售量 數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

由散點圖知，按建立關于的回歸方程是合理的．令，則，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

10.15

109.94

0.16

-2.10

0.21

21.22

（1）根據(jù)以上信息，建立關于的回歸方程；

（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤與的關系為．根據(jù)（1）的結果，求當年宣傳費時，年利潤的預報值是多少？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在邊長為4的菱形中，，點分別是邊的中點，，沿將翻折到，連接，得到如圖所示的五棱錐，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，．

（Ⅰ)若的圖像在處的切線過點，求的值并討論在上的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）定義：若直線與曲線、都相切，則我們稱直線為曲線、的公切線．若曲線與存在公切線，試求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量，從中分別隨機抽取了10件樣品，測量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克），如圖所示是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖.規(guī)定：當產(chǎn)品中的此中元素的含量不小于18毫克時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品.

（1）試用樣品數(shù)據(jù)估計甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率；

（2）從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其數(shù)學期望；

（3）從甲產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機抽取3件，也從乙產(chǎn)品抽取的10件樣品中有放回地隨機抽取3件；抽到的優(yōu)等品中，記“甲產(chǎn)品恰比乙產(chǎn)品多2件”為事件，求事件的概率.

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若有兩個零點，求的取值范圍.

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