Question

18．若存在實(shí)數(shù)m，n，k（m＜n＜k）使得關(guān)于x的不等式e^x-a（x²-x+1）≥0的解集為[m，n]∪[k，+∞），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{{e}^{2}}{3}$，e）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．

解答 解：∵e^x-a（x²-x+1）≥0，
∴a（x²-x+1）≤e^x，
∴a≤$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-x+1}$，
則f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-3x+2）}{（{x}^{2}-x+1）^{2}}$，
故f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，在[1，2]上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
故f_max（x）=e，f_min（x）=$\frac{{e}^{2}}{3}$；
∵關(guān)于x的不等式e^x-a（x²-x+1）≥0的解集為[m，n]∪[k，+∞），
∴$\frac{{e}^{2}}{3}$＜a＜e，
故答案為（$\frac{{e}^{2}}{3}$，e）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及不等式的解法與應(yīng)用．