Question

4．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB⊥PC，其中BP=BC=3，PC=$\sqrt{6}$
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BP，DC中點(diǎn)，求證：EF∥平面APD
（2）設(shè)G為線段BC上的一點(diǎn)，且BG=2GC，求證：PG⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）取PA中點(diǎn)M，連接EM，MD，推導(dǎo)出EFDM為平行四邊形，從而EF∥MD，由此能證明EF∥平面APD．
（2）取PC中點(diǎn)N，連接NB，過(guò)P點(diǎn)作PG'⊥BC，垂足為G'，推導(dǎo)出PG⊥BC，AB⊥BC，AB⊥PC，從而AB⊥平面PBC，進(jìn)而平面PBC⊥平面ABCD，PG⊥BC，由此能證明PG⊥平面ABCD．

解答 證明：（1）取PA中點(diǎn)M，連接EM，MD，
在△PBA中，E，M分別為PB，PA的中點(diǎn)，∴$EM\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BA$，
在矩形ABCD中，F(xiàn)為DC中點(diǎn)，∴$FD\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BA$，
∴$EM\underline{\underline{∥}}FD$，∴EFDM為平行四邊形，
∴EF∥MD，又EF?平面APD，MD?平面APD，
∴EF∥平面APD．
（2）取PC中點(diǎn)N，連接NB，由$BP=BC=3，PC=\sqrt{6}$，∴$BN=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$，
過(guò)P點(diǎn)作PG'⊥BC，垂足為G'，則$PG'=\frac{BN•PC}{BC}=\sqrt{5}$，
∴$BG'=\sqrt{P{B^2}-P{{G'}^2}}=2$，由G為線段BC上一點(diǎn)，BG=2，
可知G，G'重合．即PG⊥BC，
∵AB⊥BC，AB⊥PC，BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，AB?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD，
∵平面PBC∩平面ABCD=BC，且PG⊥BC，
∴PG⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．