Question

14．已知$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{1}{3}\\ y＞1\end{array}$，若對滿足條件的任意實數(shù)x，y，不等式$\frac{{9{x^2}}}{{{a^2}（y-1）}}$+$\frac{y^2}{{{a^2}（3x-1）}}$≥1恒成立，則實數(shù)a的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分離變量a²，構(gòu)造輔助函數(shù)t=$\frac{（3x-1）^{2}+2（3x-1）+1}{y-1}$+$\frac{（y-1）^{2}+2（y-1）+1}{3x-1}$，然后利用基本不等式求出t的最小值，從而得到a²的范圍，進一步求得a的取值范圍，得到a的最大值．

解答 解：不等式$\frac{{9{x^2}}}{{{a^2}（y-1）}}$+$\frac{y^2}{{{a^2}（3x-1）}}$≥1恒成立，
∴a²≤$\frac{9{x}^{2}}{y-1}$+$\frac{{y}^{2}}{3x-1}$=$\frac{（3x-1）^{2}+2（3x-1）+1}{y-1}$+$\frac{（y-1）^{2}+2（y-1）+1}{3x-1}$，
令t=$\frac{（3x-1）^{2}+2（3x-1）+1}{y-1}$+$\frac{（y-1）^{2}+2（y-1）+1}{3x-1}$，
∵x$＞\frac{1}{3}$，y＞1，
∴y-1＞0，3x-1＞0，
∴t≥2$\sqrt{（3x-1+\frac{1}{3x-1}+2）•（y-1+\frac{1}{y-1}+2）}$≥2$\sqrt{（2+2）•（2+2）}$=8，
∴a²≤8，則-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
∴實數(shù)a的最大值是2$\sqrt{2}$
故答案為：2$\sqrt{2}$

點評 本題考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，解答的關(guān)鍵是把構(gòu)造出的函數(shù)靈活變形，然后利用基本不等式求最值．是中檔題．