Question

3．（1）12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，問每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球的不同放法有多少種？
（2）12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，問不同的放法有多少種？
（3）12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，每盒可空，問不同的放法有多少種？

Answer 1

分析 （1）把12個(gè)球排成一行，共有11個(gè)間隔．若每個(gè)間隔之間放一塊隔板，則共需要放11塊隔板．根據(jù)題意，要求將這些球放入四個(gè)盒子里，就是求“從11塊隔板中任意抽出3塊，一共有多少種方法？”的問題；
（2）先給每個(gè)盒子裝上比編號(hào)小1的小球，還剩6個(gè)小球，則轉(zhuǎn)化為將6個(gè)相同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，每盒至少裝一個(gè)，由隔板法，可得結(jié)論；
（3）因?yàn)槊亢锌煽�，所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應(yīng)用，建立數(shù)學(xué)模型求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意，要求將這些球放入四個(gè)盒子里，就是求“從11塊隔板中任意抽出3塊，一共有多少種方法？”的問題，則可得放法有${C}_{11}^{3}$=$\frac{11×10×9}{3×2×1}$=165，
故不同放法有165種；
（2）先給每個(gè)盒子裝上比編號(hào)小1的小球，還剩6個(gè)小球，則轉(zhuǎn)化為將6個(gè)相同的小球裝入4個(gè)不同的盒子，每盒至少裝一個(gè)，由隔板法有${C}_{5}^{3}$=10種；
（3）因?yàn)槊亢锌煽眨�所以隔板之間允許無球，那么插入法就無法應(yīng)用，現(xiàn)建立如下數(shù)學(xué)模型．將三塊隔板與12個(gè)球排成一排，則如圖000||00000|0000中隔板將這一排球分成四塊，從左到右可以看成四個(gè)盒子放入的球數(shù)，即上圖中1，2，3，4四個(gè)盒子相應(yīng)放入3個(gè)，0個(gè)，5個(gè)，4個(gè)小球，這樣每一種隔板與球的排列法，就對應(yīng)了球的一種放法．排列的位置有15個(gè)，先從這15個(gè)位置中選出3個(gè)位置放隔板有${C}_{15}^{3}$個(gè)選法即排法，再在余下的位置放球，只有一種放法，所以隔板與球的排列法有${C}_{15}^{3}$種，即球的放法有${C}_{15}^{3}$=455（種）．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，巧用“隔板”法是解題的關(guān)鍵．