【題目】如圖,直三棱柱中,,,,點是棱上不同于的動點.

(1)證明:;

(2)若平面將棱柱分成體積相等的兩部分,求此時二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析; (2).

【解析】

(1)先由余弦定理可求得再由勾股定理可得,然后由即可證得平面,從而得證;

(2)由題設(shè)知,,結(jié)合柱體的體積可得,所以的中點,以為坐標原點,的方向為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,進而利用法向量求解二面角即可.

(1)證明:(方法一)在中,由余弦定理

.

,則,∴.

,

,

平面

平面,

證明:(方法二)在中,,

,∴

,

平面

平面,

(2)

由題設(shè)知,

,∴的中點.

∴以為坐標原點,的方向為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標,

,,,

設(shè)是平面的法向量,

,令,

平面的法向量

.

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】設(shè),分別為橢圓:的左右焦點,已知橢圓上的點到焦點,的距離之和為4.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點作直線交橢圓,兩點,線段的中點為,連結(jié)并延長交橢圓于點(為坐標原點),若,,等比數(shù)列,求線段的方程.

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2)求方程組只有正數(shù)解的概率.

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A. 存在至少一組正整數(shù)組使方程有解

B. 關(guān)于的方程有正有理數(shù)解

C. 關(guān)于的方程沒有正有理數(shù)解

D. 當整數(shù)時,關(guān)于的方程沒有正實數(shù)解

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線段的中點的廣義坐標為;

A兩點間的距離為;

向量平行于向量的充要條件是

向量垂直于向量的充要條件是.

其中的真命題是________(請寫出所有真命題的序號)

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