Question

4．已知在平面坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），點(diǎn)M為直線OP上的一個(gè)動點(diǎn)．
（I）當(dāng)$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取最小值時(shí)，求向量$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)；
（II）在點(diǎn)M滿足（I）的條件下，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出$\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，利用平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算法則，即可求出對應(yīng)$\overrightarrow{OM}$的值；
（Ⅱ）利用平面向量的夾角余弦公式，即可求出對應(yīng)的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)$\overrightarrow{OM}=（{x，y}）$，
∵點(diǎn)M為直線OP上的一個(gè)動點(diǎn)，
∴向量$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OP}$共線，
∴x-2y=0；
即$\overrightarrow{OM}=（{2y，y}）$，…（2分）
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OM}$=（1-2y，7-y），
$\overrightarrow{MB}$=（5-2y，1-y），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{1-2y}）（{5-2y}）+（{7-y}）（{1-y}）=5{（{y-2}）^2}-8$；…（4分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)y=2時(shí)得${（{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}）_{min}}=-8$，此時(shí)$\overrightarrow{OM}=（{4，2}）$；…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{OM}=（{4，2}）$時(shí)，$\overrightarrow{MA}=（{-3，5}），\overrightarrow{MB}=（{1，-1}）$；…（7分）
∴$cos∠AMB=\frac{{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}}{{|{\overrightarrow{MA}}|•|{\overrightarrow{MB}}|}}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}-\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$；…（9分）
∴∠AMB的余弦值為$-\frac{{4\sqrt{17}}}{17}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，也考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題目．