Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB=2BC，
AC=AA₁=BC．
（1）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中點(diǎn)，在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB₁C₁？
若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）∵AB=2BC，AC=BC，
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=．
從而BC⊥AC．又AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥BC，∴BC⊥CC₁（2分）
從而BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C，
則B₁C₁⊥A₁C（4分）∵AC=AA₁∴側(cè)面ACC₁A₁為正方形，∴AC₁⊥A₁C．
又B₁C₁∩AC₁=C₁，∴C⊥面AB₁C₁（6分）

（2）存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)（（8分））
下面給出證明：
取BB₁的中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥B₁C₁．
∵AB的中點(diǎn)為E，連接EF，則EF∥AB₁．B₁C₁與AB₁是相交直線，∴面DEF∥面AB₁C₁．（10分）
而DE?面DEF，∴DE∥面AB₁C₁（12分）
分析：（1）根據(jù)三邊滿足勾股定理則△ABC為直角三角形，從而BC⊥AC，又AA₁⊥平面ABC，則AA₁⊥BC，BC⊥CC₁，從而BC⊥面ACC₁A₁，則BC⊥A₁C，則B₁C₁⊥A₁C，因AC=AA₁則側(cè)面ACC₁A₁為正方形，從而AC₁⊥A₁C，又B₁C₁∩AC₁=C₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知面AB₁C₁；
（2）存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)，取BB₁的中點(diǎn)F，連接DF，則DF∥B₁C₁，因AB的中點(diǎn)為E，連接EF，則EF∥AB₁．B₁C₁與AB₁是相交直線，從而面DEF∥面AB₁C₁，而DE?面DEF，根據(jù)線面平行的判定定理可知DE∥面AB₁C₁．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，同時(shí)考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．