Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（I）當a=2時，求不等式f（x）≤4的解集；
（II）設函數(shù)g（x）=|2x-1|．當x∈R時，f（x）+g（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=2時，f（x）=|2x-2|+2，不等式即|x-1|≤1，-1≤x-1≤1，由此求得x的范圍．
（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得f（x）+g（x）的最小值為|1-a|+a，不等式等價于|1-a|+a≥2，分類討論，求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=|2x-2|+2，不等式即|2x-2|+2≤4，即|x-1|≤1，-1≤x-1≤1，
求得0≤x≤2，故f（x）≤4的解集為{x|0≤x≤2}．
（Ⅱ）當x∈R時，f（x）+g（x）=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a，當$x=\frac{1}{2}$時等號成立，
所以當x∈R時，f（x）+g（x）≥2等價于|1-a|+a≥2 ①，
當a≤1時，①等價于1-a+a≥2，無解；
當a＞1時，①等價于a-1+a≥2，解得$a≥\frac{3}{2}$，
綜合可得，a的取值范圍是$[\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．