Question

3．已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，則向量$\overrightarrow{AC}$在向量$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，欲求向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影，根據(jù)投影的計(jì)算公式，只須求出這兩個(gè)向量的夾角及向量$\overrightarrow{AC}$的模，借助于平面幾何圖形得出三角形OAB為正三角形，最后利用向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影的定義即可求解．

解答 解：∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴BC是直徑，∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，
∴△OAB的等邊三角形，
OA=OB=AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=2，
如圖示：
，
∴向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{BC}$的夾角是30°，
∴向量$\overrightarrow{AC}$在向量$\overrightarrow{BC}$方向上的投影是|$\overrightarrow{AC}$|cos30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩個(gè)向量的夾角定義，還考查向量在另外一個(gè)向量上的投影的定義及學(xué)生的分析問(wèn)題的數(shù)形結(jié)合的能力．