Question

3．在圓x²+y²=r²中，AB為直徑，C為圓上異于A，B的任意一點，則有k_AC•K_BC=-1，設直線AB過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中心，且和橢圓相交于點A，B，P（x，y）為橢圓上異于A，B的任意一點，用各類比的方法可得k_AP•K_BP=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 由圓的性質(zhì)可以類比得到橢圓的類似性質(zhì)．

解答 解：由圓的性質(zhì)可以類比得到橢圓的類似性質(zhì)，即k_AC•k_BC=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
證明如下：設點A的坐標為（m，n），則點B的坐標為（-m，-n），進而可知$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
又設點P的坐標為（x，y），
 則k_AP=$\frac{y-n}{x-m}$，k_BP=$\frac{y+n}{x+m}$
∴k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$，
將y²=b^2_（1-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$），n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）代入得k_AP•k_BP=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案為：-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．