Question

13．已知雙曲線2x²-3y²-6=0，若它的一條弦AB被直線y=kx（k≠0）平分，則弦AB的斜率為$\frac{2}{3}$k．

Answer 1

分析 設AB的斜率為k′，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），中點坐標（x₀，y₀）把A，B代入雙曲線方程兩式想減整理可得$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{2}$k′，根據(jù)AB的中點在直線y=kx上，代入得y₀=kx₀，進而求得k和k′的關系．

解答 解：設AB的斜率為k′，
則A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），中點坐標（x₀，y₀）
x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）
由題意：2x₁²-3y₁²=6，2x₂²-3y₂²=6
兩式相減，整理得：
2（x₁+x₂）（x₁-x₂）=3（y₁+y₂）（y₁-y₂）
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{3（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}$，
即$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{2}$k′
∵AB的中點在直線y=kx上，代入得y₀=kx₀，
∴$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=k
∴k′=$\frac{2}{3}$k．
故答案為：$\frac{2}{3}$k．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了直線的斜率問題，直線方程問題，考查了學生對所學知識綜合性的把握．