Question

16．某醫(yī)學(xué)院讀書(shū)協(xié)會(huì)欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，該協(xié)會(huì)分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．該協(xié)會(huì)確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．

（Ⅰ）已知選取的是1月至6月的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出就診人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差x的線性回歸方程；
（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)（Ⅰ）中該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是否理想？
參考公式：回歸直線的方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回歸系數(shù)，即可求出就診人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差x的線性回歸方程；
（Ⅱ）根據(jù)所求的線性回歸方程，預(yù)報(bào)當(dāng)自變量為10和6時(shí)的y的值，把預(yù)報(bào)的值同原來(lái)表中所給的10和6對(duì)應(yīng)的值做差，差的絕對(duì)值不超過(guò)2，得到線性回歸方程理想．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)求得$\overline x=\frac{11+13+12+8}{4}=11，\overline y=\frac{25+29+26+16}{4}=24$，
$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}=（11-11）×1+（13-11）×5+（12-11）×2+（8-11）×（-8）=36$，
$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\bar x}{）^2}={0^2}+{2^2}+{1^2}+{（-3）^2}=14$，
由公式求得$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\bar x}{）^2}}}=\frac{18}{7}$，
所以$\widehata=\overline y-\hat b\overline x=-\frac{30}{7}$，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehaty=\frac{18}{7}x-\frac{30}{7}$．
（Ⅱ）當(dāng)x=10時(shí)，$\widehaty=\frac{150}{7}$，$|{\frac{150}{7}-22}|＜2$；
同樣，當(dāng)x=6時(shí)，$\widehaty=\frac{78}{7}$，$|{\frac{78}{7}-12}|＜2$．
所以，該協(xié)會(huì)所得線性回歸方程是理想的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．