Question

18．點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)，O是直線AB外一點(diǎn)，$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，不等式x²（y+1）+y²（x+2）＞k（x+2）（y+1）對滿足條件的x，y恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍$（-∞，\frac{1}{4}）$．

Answer 1

分析 由題意可知x+y=1，x，y∈[0，1]，將y=1-x代入不等式，分理變量，整理得k＜$\frac{2{x}^{2}-3x+2}{4-{x}^{2}}$，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性求得其最小值，即可求得k的取值范圍．

解答 解：點(diǎn)C是線段AB上任意一點(diǎn)，O是直線AB外一點(diǎn)，$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$
∴x+y=1，x，y∈[0，1]，
將y=1-x代入不等式x²（y+1）+y²（x+2）＞k（x+2）（y+1）中，
可得2x²-3x+2＞k（4-x²），即k＜$\frac{2{x}^{2}-3x+2}{4-{x}^{2}}$，
令f（x）=$\frac{2{x}^{2}-3x+2}{4-{x}^{2}}$，x∈[0，1]，對f（x）求導(dǎo)，得f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+20x-12}{（4-{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜1，
f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{2}{3}$]上遞減，在[$\frac{2}{3}$，1]上遞增，
當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，f（x）有最小值，
最小值為$\frac{1}{4}$，
所以當(dāng)k＜$\frac{1}{4}$時，不等式恒成立，
故答案為：$（-∞，\frac{1}{4}）$．

點(diǎn)評 本題考查向量基本定理及其性質(zhì)，考查分離變量法求函數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性及其最值，綜合能力強(qiáng)，計算復(fù)雜，屬于中檔題．