Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在以F₂為圓心，|OF₂|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 首先求出F₁到漸近線的距離，利用F₁關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F₂為圓心，|OF₂|為半徑的圓上，可得直角三角形，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
設(shè)一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，則F₁到漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b．
設(shè)F₁關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)₁M與漸近線交于A，
可得|MF₁|=2b，A為F₁M的中點(diǎn)，
又0是F₁F₂的中點(diǎn)，∴OA∥F₂M，則∠F₁MF₂為直角，
由△MF₁F₂為直角三角形，
由勾股定理得4c²=c²+4b²
即有3c²=4（c²-a²），即為c²=4a²，
即c=2a，則e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及有關(guān)離心率和漸近線，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．