Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a-$\frac{1}{2}$c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由內(nèi)角和定理和特殊角度三角函數(shù)值求出B；
（2）由條件和正弦定理表示出a、c，代入a-$\frac{1}{2}$c利用兩角差的正弦公式化簡，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出式子的取值范圍．

解答 解析：（1）在△ABC中，由已知得（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC-----（3分）
化簡得2sinAcosB=sin（B+C）
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，則2sinAcosB=sinA，
由0＜A＜π得sinA≠0，則cosB=$\frac{1}{2}$----------（5分）
由0＜B＜π得，B=$\frac{π}{3}$；-----------（6分）
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
得a=2sinA，c=2sinC，
由（1）得，C=π-B-A=$\frac{2π}{3}-A$，則$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴a-$\frac{1}{2}c$=2sinA-sinC=2sinA-sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=$\frac{3}{2}sinA-\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$=$\sqrt{3}sin$（$A-\frac{π}{6}$）---------（9分）
由$0＜A＜\frac{2π}{3}$得，$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$------（10分）
∴$sin（A-\frac{π}{6}）∈（-\frac{1}{2}，1）$，
∴a-$\frac{1}{2}c$=$\sqrt{3}sin$（$A-\frac{π}{6}$）∈$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$------（12分）

點(diǎn)評 本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．