Question

已知曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（

π

8

，

2

），此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）用“五點(diǎn)法”畫出（1）中函數(shù)在[0，π]上的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)確定A，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的坐標(biāo)確定函數(shù)的周期，利用最值點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)求ψ的取值，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）利用五點(diǎn)法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為（

π

8

，

2

），
∴A=

2

，x=

π

8

，為其中一條對稱軸．
這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)的圖象與x軸交于（

3

8

π，0），
∴

T

4

=

3

8

π-

π

8

=

π

4

，
即函數(shù)的周期T=π，
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
此時(shí)函數(shù)y=f（x）=

2

sin（2x+φ），
∵f（

π

8

）=

2

sin（

π

8

×2+φ）=

2

，
∴sin（

π

4

+φ）=1，
即

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，
即φ=

π

4

+2kπ，
∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=

π

4

，
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為y=f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（2）列表：

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
2 sin（2x+ π 4 ）	0	2	0	- 2	0

作出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并光滑連線，得到一個(gè)周期的簡圖．圖象如下．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件確定A，ω，φ的取值是解決本題的關(guān)鍵．