Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{{{a^{\;}}}}{x}$，g（x）=x+lnx．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若存在x₁∈[1，e]，x₂∈[e，e²]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍求出f（x）在[1，e]的最大值，求出g（x）在[e，e²]的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）_max＞g（x）_min即可，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{{{a^{\;}}}}{x}$，（x≠0），
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）遞增；
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$且x≠0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{a}$）遞增，在（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得：
①a≤1時(shí)，f（x）在[1，e]遞增，
∴f（x）在[1，e]的最大值是f（e）=e+$\frac{a}{e}$，
②1＜a＜e時(shí)，f（x）在[1，a）遞減，在（a，e]遞增，
∴f（x）的最大值是f（1）或f（e），
而f（1）=1+a＜f（e）=e+$\frac{a}{e}$，
∴f（x）在[1，e]的最大值是e+$\frac{a}{e}$，
③a≥e時(shí)，f（x）在[1，e]遞減，
∴f（x）在[1，e]的最大值是f（1）=1+a，
而g（x）=x+lnx，g′（x）=1+$\frac{1}{x}$＞0，
∴g（x）在[e，e²]遞增，g（x）的最小值是g（e）=1+e，
若存在x₁∈[1，e]，x₂∈[e，e²]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，
只需f（x）_max＞g（x）_min即可，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜e}\\{e+\frac{a}{e}＞1+e}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥e}\\{1+a≥1+e}\end{array}\right.$，
解得：a≥e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．