Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（sinθ，1）$，$\overrightarrow b=（-sinθ，0）$，$\overrightarrow c=（cosθ，-1）$，且$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）∥\overrightarrow c$，則sin2θ等于$-\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得求出2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（3sinθ，2），進(jìn)而由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得有3sinθ×（-1）=2cosθ，化簡(jiǎn)可得，tanθ=-$\frac{2}{3}$，進(jìn)而由二倍角公式變形分析可得sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$，代入tanθ的值計(jì)算即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，量$\overrightarrow a=（sinθ，1）$，$\overrightarrow b=（-sinθ，0）$，$\overrightarrow c=（cosθ，-1）$，
則2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（3sinθ，2），
又由$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）∥\overrightarrow c$，則有3sinθ×（-1）=2cosθ，即-3sinθ=2cosθ，
化簡(jiǎn)可得，tanθ=-$\frac{2}{3}$，
sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=-$\frac{12}{13}$，
即sin2θ=$-\frac{12}{13}$；
故答案為：$-\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是利用向量平行的坐標(biāo)表示方法求出關(guān)于三角函數(shù)式．