Question

14．如圖1，已知長方形ABCD中，AB=2AD，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM如圖2，設(shè)點E是線段DB上的一動點（不與D，B重合）．

（Ⅰ）當(dāng)AB=2時，求三棱錐M-BCD的體積；
（Ⅱ）求證：AE不可能與BM垂直．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AM的中點N，連接DN．由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得DN⊥平面ABCM．求出DN，然后利用等積法求得三棱錐M-BCD的體積；
（Ⅱ）假設(shè)AE⊥BM，結(jié)合（Ⅰ）利用反證法證明．

解答 （Ⅰ）解：取AM的中點N，連接DN．
∵AB=2AD，∴DM=AD，又N為AM的中點，
∴DN⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，又平面ADM∩ABCM=AM，DN?平面ADM，
∴DN⊥平面ABCM．
∵AB=2，∴AD=1，AM=$\sqrt{2}$，則$DN=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又${S_{△BCM}}=\frac{1}{2}•CM•CB=\frac{1}{2}$，
∴V_M-BCD=V_D-BCM=$\frac{1}{3}{S}_{△BCM}•DN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}$；
（Ⅱ）證明：假設(shè)AE⊥BM．
由（Ⅰ）可知，DN⊥平面ABCM，∴BM⊥DN．
在長方形ABCD中，AB=2AD，
∴△ADM、△BCM都是等腰直角三角形，∴BM⊥AM．
而DN、AM?平面ADM，DN∩AM=N，
∴BM⊥平面ADM．
而AD?平面ADM，
∴BM⊥AD．
由假設(shè)AE⊥BM，AD、AE?平面ABD，AD∩AE=A，
∴BM⊥平面ABD，
而AB?平面ABD，∴BM⊥AB，
這與已知ABCD是長方形矛盾，
故AE不可能與BM垂直．

點評 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，訓(xùn)練了一種證明幾何問題的方法-反證法，屬中檔題．