Question

3．已知函數(shù)f（x）=xlnx+（2a-1）x-ax²-a+1，
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，若x∈[1，+∞），則f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）可求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=lnx-2a（x-1），進(jìn)而求出a=$\frac{1}{2}$時(shí)的導(dǎo)數(shù)，為判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)需進(jìn)一步求導(dǎo)，這樣即可判斷導(dǎo)數(shù)f′（x）的符號(hào)，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）可令f′（x）=0，從而得到lnx=2a（x-1），容易得出函數(shù)lnx在x=1處的切線為y=x-1，根據(jù)上面可以得出a=$\frac{1}{2}$時(shí)，可得出f（x）≤0，而a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)形結(jié)合即可得出f（x）≤0，這樣即證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=lnx-2a（x-1）
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=lnx-（x-1）
令g（x）=lnx-（x-1），則${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
x∈（0，1）時(shí)g′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＜0
∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1處取等號(hào)）
∴f（x）的單減區(qū)間是（0，+∞）；
（2）f′（x）=lnx-2a（x-1）
令f′（x）=0，則lnx=2a（x-1）且函數(shù)lnx在x=1處的切線為y=x-1
由（1）知，$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單減且f（1）=0
∴f（x）≤0，合題意
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)形結(jié)合知，f（x）在[1，+∞）上仍單減且f（1）=0
∴f（x）≤f（1）=0
綜上：若$a≥\frac{1}{2}$，且x∈[1，+∞），恒有f（x）≤0．

點(diǎn)評(píng) 考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法和過程，減函數(shù)定義的運(yùn)用．