Question

14．歐拉公式e^ix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式：
（1）判斷e²ⁱ表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第幾象限，并說明理由？
（2）若e^ix＜0，求cosx的值．

Answer 1

分析 （1）e²ⁱ=cos2+isin2，其對應(yīng)點(diǎn)為（cos2，sin2），由$\frac{π}{2}$＜2＜π，即可判斷出結(jié)論．
（2）e^ix=cosx+isinx＜0，因此e^ix為實數(shù)，可得$\left\{\begin{array}{l}{cosx＜0}\\{sinx=0}\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：（1）e²ⁱ=cos2+isin2，其對應(yīng)點(diǎn)為（cos2，sin2），
由$\frac{π}{2}$＜2＜π，因此cos2＜0，sin2＞0，∴點(diǎn)（cos2，sin2）在第二象限，
故e²ⁱ表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限．
（2）e^ix=cosx+isinx＜0，因此e^ix為實數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{cosx＜0}\\{sinx=0}\end{array}\right.$，可得cosx=-1．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其性質(zhì)、三角函數(shù)的符號，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．