Question

17．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，且過(guò)點(diǎn)$M（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$，其離心率為e，拋物線C₂的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為$（{\frac{e}{2}，0}）$．
（I）求拋物線C₂的方程；
（II）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A，B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=12．
（i）求證：直線AB必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)； （ii）過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)雙曲線的漸近線方程求得b=$\sqrt{3}$a，將M代入雙曲線方程，即可求得a和b的值，求得雙曲線方程，求得離心率，求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得拋物線方程；
（II）（i）將直線AB的方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得t的值，即可求得直線AB過(guò)定點(diǎn)P（6，0）；
（ii）由（i）及弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨及丨CD丨，根據(jù)四邊形的面積公式及函數(shù)單調(diào)性，即可求得四邊形ACBD面積的最小值．

解答 解：（I）由雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$a，
將$M（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$代入橢圓方程：$\frac{2}{{a}^{2}}-\frac{3}{3{a}^{2}}=1$，解得：a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
∴焦點(diǎn)為（1，0），
∴拋物線C₂的方程y²=4x；
（II）（i）證明：設(shè)直線AB的方程x=my+t，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4t=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=12．則$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}$+y₁y₂=12，解得：y₁y₂=-24或y₁y₂=8（舍去），
即-4t=-24，解得：t=6，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)P（6，0）；
（ii）設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由（i）可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+96}$，
同理可得：丨CD丨=$\sqrt{1+（-\frac{1}{m}）^{2}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+96}$，
則四邊形ACBD面積S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•丨CD丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+96}$×$\sqrt{1+（-\frac{1}{m}）^{2}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+96}$
=8$\sqrt{[2+（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）][37+6（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）]}$，
令m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=μ，（μ≥2），則S=8$\sqrt{6{μ}^{2}+49μ+74}$，在μ∈[2，+∞）上是增函數(shù)，
故S_min=112，當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)取最小值為112．
四邊形ACBD面積的最小值為112．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．