Question

【題目】在直角坐標系中，已知射線OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．過點P（1，0）作直線分別交射線OA，OB于點A，B．
（1）當AB的中點在直線x﹣2y=0上時，求直線AB的方程；
（2）當△AOB的面積取最小值時，求直線AB的方程．
（3）當PAPB取最小值時，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A（a，a），B（b，﹣2b），則線段AB的中點為C ．

∴ ﹣2× =0， = ，

分別化為：a=5b，a+2b﹣3ab=0．

解得： ，

∴直線AB的方程為：y﹣0= （x﹣1），化為：7x﹣4y﹣7=0

（2）解：設(shè)A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．

a=b=1時，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB= ×|OP|×|AB|= = ．

a，b≠1時，S△OAB= ×|OP|×（a+2b）= （a+2b），

又 ，化為a+2b=3ab，

∴a+2b=3ab= ≤ ，解得：a+2b≥ ．

∴S△OAB≥ × = ，

當且僅當a=2b= 時取等號．

綜上可得：當△AOB的面積取最小值 時，直線AB的方程為：y= （x﹣1），化為：4x﹣y﹣4=0

（3）解：設(shè)直線AB的方程為：my=x﹣1. ．

聯(lián)立 ，解得A ，可得|PA|= = ．

聯(lián)立 ，解得B ，可得|PB|= = ．

∴|PA||PB|= = = =f（m），

m=﹣3時，f（﹣3）=1；

令m+3=k≠0，f（m）=g（k）= = ，

k＜0時，g（k）= ≥ = ．

k＞0時，g（k）= ≥ = ，

而 ＞ ，

∴g（k）的最小值為： ．

當且僅當k= 時取等號．

∴m= ﹣3．

∴直線AB的方程為：（ ﹣3）y=x﹣1

【解析】（1）設(shè)A（a，a），B（b，﹣2b），則線段AB的中點為C ．可得 ﹣2× =0， = ，聯(lián)立解出a，b，即可得出．（2）設(shè)A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a(chǎn)=b=1時，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB= ×|OP|×|AB|．a(chǎn)，b≠1時，S△OAB= ×|OP|×（a+2b）= （a+2b），又 ，化為a+2b=3ab，利用基本不等式的性質(zhì)可得a+2b的取值范圍．（3）設(shè)直線AB的方程為：my=x﹣1. ．聯(lián)立 ，解得A ，可得|PA|= ．同理可得|PB|= ．可得|PA||PB．
進而得出最小值．|