Question

17．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-ax-x²．
（1）若x=1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）討論f（x）在定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x=1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，建立方程f'（1）=0，進(jìn)行求解即可．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）因為f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-a-2x，
令f'（1）=0，即$\frac{a}{2}$-a-2=0，解得a=-4，
經(jīng)檢驗：此時，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）在x=1處取極大值．滿足題意．
（2）f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-a-2x=$\frac{-2x（x+\frac{a+2}{2}）}{x+1}$，
令f'（x）=0，得x=0，或x=-$\frac{a+2}{2}$，又f（x）的定義域為（-1，+∞）
①當(dāng)-$\frac{a+2}{2}$≤-1，即a≥0時，若x∈（-1，0），則f'（x）＞0，f（x）遞增；
若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
②當(dāng)-1＜-$\frac{a+2}{2}$＜0，即-2＜a＜0時，若x∈（-1，-$\frac{a+2}{2}$），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
若x∈（-$\frac{a+2}{2}$，0），則f'（x）＞0，f（x）遞增；若x∈（0，+∞），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
③當(dāng)-$\frac{a+2}{2}$=0，即a=-2時，f'（x）≤0，f（x）在（-1，+∞）內(nèi)遞減，
④當(dāng)-$\frac{a+2}{2}$＞0，即a＜-2時，若x∈（-1，0），則f'（x）＜0，f（x）遞減；
若x∈（0，-$\frac{a+2}{2}$），
則f'（x）＞0，f（x）遞增；
若x∈（-$\frac{a+2}{2}$，+∞），則f'（x）＜0，f（x）遞減；

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，注意對a進(jìn)行分類討論，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．