Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）試探究當(dāng)時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）;（Ⅲ）時(shí)，方程有兩個(gè)解．

解析試題分析：（Ⅰ）依題意得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出斜率，再利用點(diǎn)斜式，即可求出曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）等價(jià)于對(duì)任意，，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求出結(jié)果；（Ⅲ）設(shè)，，對(duì)進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果.
試題解析：解：（Ⅰ）依題意得，， 1分
． 2分
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為． 3分
（Ⅱ）等價(jià)于對(duì)任意，． 4分
設(shè)，．
則
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/12/e8/125e8fd87791dd8eda0d64e559824f2a.png" style="vertical-align:middle;" />，所以， 5分
所以，故在單調(diào)遞增， 6分
因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值； 7分
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．8分
（Ⅲ）設(shè)，．
①當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，
故函數(shù)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，
因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)． 10分
②當(dāng)時(shí)，恒成立．證明如下：
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，所以，
又時(shí)，，所以，即．
故函數(shù)在上沒有零點(diǎn)． 12分
③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
又，而且函數(shù)在上是連續(xù)不斷的，
因此，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，時(shí)，方程有兩個(gè)解． 14分
考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.不等式的恒成立．