Question

15．已知平面直角坐標系中的動點M與兩個定點M₁（26，1），M₂（2，1）的距離之比等于5．
（Ⅰ）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（Ⅱ）記動點M的軌跡為C，過點P（-2，3）的直線l被C所截得的弦長為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用距離的比，列出方程即可求點M的軌跡方程，然后說明軌跡是什么圖形；
（Ⅱ）設出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設M（x，y），由題意得：$\frac{\sqrt{（x-26）^{2}+（y-1）^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}}$=5，
化簡得：（x-1）²+（y-2）²=25…（5分）
所以動點M的軌跡方程是：（x-1）²+（y-2）²=25，
動點M的軌跡是以（1，1）為圓心，5為半徑的圓…（6分）
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，過點A（-2，3）的直線l：x=-2，
此時過點A（-2，3）的直線l被圓所截得的線段的長為：2$\sqrt{25-9}$=8，
∴l(xiāng)：x=-2符合題意．
當直線l的斜率存在時，設過點A（-2，3）的直線l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圓心到l的距離d=$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由題意，得（$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+4²=5²，解得k=$\frac{5}{12}$．
∴直線l的方程為$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{23}{6}$=0．即5x-12y+46=0．
綜上，直線l的方程為x=-2，或5x-12y+46=0．…（12分）

點評 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，考查計算能力．