【題目】如圖,平面PAC⊥平面ABC,是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,FO分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),.

1)設(shè)GOC的中點(diǎn),證明:∥平面;

2)證明:在內(nèi)存在一點(diǎn)M,使FM⊥平面BOE,求點(diǎn)MOAOB的距離.

【答案】1)見解析(2)見解析,點(diǎn)MOAOB的距離為.

【解析】

1)連結(jié)OP,以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面的法向量,即可由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明,進(jìn)而可知∥平面;

2M內(nèi),可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由平面,可知,由共線向量的坐標(biāo)關(guān)系即可求得M的坐標(biāo),檢驗(yàn)M的坐標(biāo)是否滿足在內(nèi),進(jìn)而由M的坐標(biāo)可求得點(diǎn)MOAOB的距離.

1)證明:中點(diǎn),連結(jié)OP如下圖所示,

因?yàn)?/span>,

所以,

因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面平面,

所以平面,

平面,則.

O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OB、OCOP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意得,得,

設(shè)平面的法向量為

,代入可得

,代入可得,所以平面BOE的法向量為

,

,即,

又直線不在平面內(nèi),

因此有平面.

II)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則,

因?yàn)?/span>平面,所以有,

因此有,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

在平面直角坐標(biāo)系中,的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組,

經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組,

所以在內(nèi)存在一點(diǎn)M,使平面,由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)MOA,OB的距離為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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理科人數(shù)

文科人數(shù)

總計(jì)

數(shù)學(xué)成績(jī)好的人數(shù)

25

30

數(shù)學(xué)成績(jī)差的人數(shù)

10

合計(jì)

15

(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系,完成列聯(lián)表;

(Ⅱ)通過(guò)計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生選擇文理科有影響.

附:

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取名同學(xué)(男),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)

幾何題

代數(shù)題

總計(jì)

男同學(xué)

女同學(xué)

總計(jì)

(1)能否據(jù)此判斷有的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)?

(2)經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后,甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.

(3)現(xiàn)從選擇做幾何的名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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時(shí)間

周一

周二

周三

周四

周五

周六

周日

車流量(x萬(wàn)輛)

10

9

9.5

10.5

11

8

8.5

空氣質(zhì)量指數(shù)y

78

76

77

79

80

73

75

(1)根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;

(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的.請(qǐng)根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù),判定所得的線性回歸方程是否可靠?

附:回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:

其中:

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1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量.

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