Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示．
（1）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；
（2）如果X=9，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)；
（3）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）當(dāng)X=8時，利用莖葉圖能求出乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差．
（2）當(dāng)X=9時，利用莖葉圖能求出乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的中位數(shù)和眾數(shù)．
（3）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10．這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，
所以平均數(shù)為

x

=

8+8+9+10

4

=

35

4

；…（1分）
方差為

s

2

=

1

4

[(8-

35

4

)

2

+(9-

35

4

)

2

+(10-

35

4

)

2

]=

11

16

．…（2分）
（2）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，9，9，10．
中位數(shù)9，眾數(shù)9．…（4分）
（3）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，
甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；
乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10．
分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，
這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21，
事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，
乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，
因此P（Y=17）=

2

16

=

1

8

．
同理可得P（Y=18）=

1

4

，P（Y=19）=

1

4

，
P（Y=20）=

1

4

，P（Y=21）=

1

8

，
所以隨機(jī)變量Y的分布列為：

Y	17	18	19	20	21
P	1 8	1 4	1 4	1 4	1 8

EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×

1

8

+18×

1

4

+19×

1

4

+20×

1

4

+21×

1

8

=19．…（10分）

點評：本題考查平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意莖葉圖的合理運(yùn)用．