11.在直角坐標系中,圓C1:x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C2以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的單位長度,建立極坐標系,直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$
(1)求曲線C2的直角坐標方程及直線l的直角坐標方程;
(2)在C2上求一點M,使點M到直線l的距離最小,并求出最小距離.

分析 (1)由$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C2,可得:$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$,代入圓C1:x2+y2=1,化簡可得曲線C2的直角坐標方程,將直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$化為:ρcosθ+2ρsinθ=10,進而可得直線l的直角坐標方程;
(2)將直線x+2y-10=0平移與C2相切時,則第一象限內的切點M滿足條件,聯(lián)立方程求出M點的坐標,進而可得答案

解答 解:(1)∵$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C2,
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$,代入圓C1:x2+y2=1得:$\frac{{x}^{′2}}{9}+\frac{{y}^{′2}}{4}=1$,
故曲線C2的直角坐標方程為 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$.
即ρcosθ+2ρsinθ=10,即x+2y-10=0,
(2)將直線x+2y-10=0平移與C2相切時,則第一象限內的切點M滿足條件,
設過M的直線為x+2y+C=0,
則由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+C=0\\ \frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$得:$\frac{25}{4}$x2+$\frac{9}{2}$Cx+$\frac{9}{4}$C2-36=0,
由△=($\frac{9}{2}$C)2-4×$\frac{25}{4}$×($\frac{9}{4}$C2-36)=0得:C=±$\frac{5}{2}$,
故x=$\frac{9}{5}$,或x=-$\frac{9}{5}$,(舍去),
則y=$\frac{8}{5}$,
即M點的坐標為($\frac{9}{5}$,$\frac{8}{5}$),
則點M到直線l的距離d=$\frac{|\frac{9}{5}+2×\frac{8}{5}-10|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$

點評 本題考查的知識點是簡單的極坐標方程,直線與圓錐曲線的關系,難度中檔.

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