Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{n+a_n}是等比數(shù)列，并求出a_n．
（2）若c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n，S_n為數(shù)列{

2

cn•cn+1

}的前n項(xiàng)和，求滿足s_n＜

1007

504

的最大整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意數(shù)列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，有遞推關(guān)系構(gòu)造新等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義即可求數(shù)列a_n+n是等比數(shù)；
（2）由（1）知c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n=n，利用裂項(xiàng)相消法，求出S_n，通過解s_n＜

1007

504

得出最大整數(shù)n

解答： 解：（1）∵2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴2（a_n+n）=a_n-1+（n-1）
∴數(shù)列{a_n+n}是以a₁+1=

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
且a_n+n=（

1

2

）ⁿ，所以a_n=（

1

2

）ⁿ-n．
（2）由（1）知c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n=n，
所以

2

cn•cn+1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以
S_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

，
 由s_n＜

1007

504

，得n＜1007，所以 滿足s_n＜

1007

504

的最大整數(shù)n為1006．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查了構(gòu)造新等比數(shù)列，還考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)的和．